升中呈分試的校內名次是如何以標準分排列

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redkoni | 2011-10-21 01:38
升中校內呈分試的計分學科一般包括中文、英文、數學、常識、視藝、音樂，其比重分別是9：9：9：6：3：2。家長一向最重視的呈分試校內名次，則是以學生的比重標準分數 (Weighted Standard Scores)總分來排名，而並非使用慣常沿用的原分數(Raw Scores)，所以家長必須小心，切勿因誤解而錯估了學生的Banding。
比重標準分總分 =

中文科標準分*9 + 英文科標準分*9 + 數學科標準分*9 + 常識科標準分*6 + 視藝科標準分*3 + 音樂科標準分*2 + 150
#上述的公式是巳經查證於教育局。


#教育局每科的標準分是以z-scores 計算。


#教育局這公式為何要加150？我估計目的是消去所有z-scores 的負分，方便運作。


#計算標準分，首先必須假設考出來的成績是服從「常態分配」(normally distributed) ，然後將 raw scores 轉化成為 z-scores。


#a z-score indicates how many standard deviations an element is from the mean of Standard Normal Distribution (Mean=0 and Standard Deviation=1).
z = (X - μ) / σ

where z is the z-score, X is the value of the element, μ is the population mean, and σ is the standard deviation.

If a distribution is normal but not standard, we can convert a value to z-score.
redkoni | 2011-10-21 02:06
1st - 159th1000.0793160th99-12.6095


舉例(二)：有一間音樂成績超平均小學，六年級五班共160人，人人音樂科考70分，只有一個學生因病考得69分，音樂科的標準分的分析如下：
Mean = 69.99375 SD= 0.078809501

[table=240][td=1,1,80]學生1st - 159th700.0793160th69-12.6095


上述的兩個例子相信是絕無僅有吧！



使用Excel 2010以機會率分析：


如果學生要考取 raw score = 99.5 ，用Excel 轉化成 z-score ，z = STANDARDIZE(99.5, 99.99375, 0.078809501) = -6.265107553，學生考取 raw score < 99.5 的概率(Probability)如下：


P(z < -6.265107553) =
NORM.S.DIST(-6.265107553,TRUE) = 1.86284E-10 (微乎其微)

既然學生考取 少於99.5分的機會微乎其微，換句說話，即是考到 99分 的機會也是微乎其微！


所以這兩個罕有極端例子在數字上巳經難以發生！何況我們不要低估音樂和視藝等學科老師的專業判斷，他們是有能力評估不同的音樂和視藝成績水平，評定各學生的原分也會有一定的變化，而且教育局也會抽樣查卷查分，很難令人相信這樣的成績是沒有偏見。不過我主觀地估計，這兩個學科的標準差相對其他主科可能會是較小。
如果有一些罕有極端例子，舉例(一)：有一間音樂成績超強小學，六年級五班共160人，人人音樂科考100分，只有一個學生因病考得99分，音樂科的標準分的分析如下：
Mean =99.99375 SD= 0.078809501
[table=240][td=1,1,80]學生		[td=1,1,80]raw score[td=1,1,80]z-score
[td=1,1,80]raw score[td=1,1,80]z-score
redkoni | 2011-10-21 02:23
由於學生考取的 raw scores 必須要先假設是服從「常態分配」(normally distributed) ，然後才能標準化，現實中的數據也可能會出現一些離羣的原分(raw scores) ，令到normal distribution 變得傾斜，對於一些極端離羣的原分，如果能夠作出適當調整，可以減少整個 distribution的誤差。

其中一個方法是 truncation，即是將所有巳轉化的 z-scores 保持在一個最高可接受與最低可接受的範圍內。以我猜想，教育局將比重標準分總和加上150的目的是消去所有 z-scores 的負分，在最差情況出現之下，比重標準分總分會是零，即是比重標準分總和 = -150，而每科的最差 z-score = -150/38 = -3.94736842

i.e. 比重總和 = 9+9+9+6+3+2 = 38

如果他們做 truncation 可能便是將任何 z-score 的上限設定為3.94736842，下限設定為 -3.94736842。

舉例，之前的罕有極端例子的最小 z-score = -12.6095，如果真有可能發生的話，也會被 truncation 調整為 z-score = -3.94736842，以減少對整體釐定分數的誤差！


#這只是個人意見，我也不清楚其實教育局會怎樣去調整一些non-random distribution。

我自己programming用以下Excel 2010 formula 做 truncation：
=IF(AND(STANDARDIZE(x,mean,sd)>=-3.94736842,STANDARDIZE(x,mean,sd)<=3.94736842),STANDARDIZE(x,mean,sd),IF(STANDARDIZE(x,mean,sd)>=3.94736842,3.94736842,-3.94736842))
redkoni | 2011-10-21 02:29
如果大家有不同的數據，也可以自己轉化分析一下。毋須使用教育局電腦，簡單使用Excel也可以將學生排名電腦化。
我自己使用的Excel 2010 formulae：
Mean = AVERAGE(A1:A160)
Standard Deviation SD = STDEV.P(A1:A160)
Median = MEDIAN(A1:A160)
Mode = MODE.SNGL(A1:A160)
Max = MAX(A1:A160)
Min = MIN(A1:A160)
z-score = STANDARDIZE(x, Mean, SD)

rank(成績由高至低排名) =
RANK.EQ(M9,M1:M160,0)

Probability P(z < x) = NORM.S.DIST( x, TRUE)
redkoni | 2011-10-21 02:42
如果學校以比重原分總分來排名次，然後告訴家長，或者為學生估算Banding，便難免有所偏差。
比重原分總分 = 中文科原分*9 + 英文科原分*9 + 數學科原分*9 + 常識科原分*6 + 視藝科原分*3 + 音樂科原分*2
redkoni | 2011-10-21 03:10
Mean78.2176.5379.6180.7777.3076.05SD11.3513.2614.0512.299.347.57Median8079.58182.57874.25Mode826090787570最高99.599.510010096.595.5最低4030104051.555學生中文英文數學常識視藝音樂標準分名次原分名次A099.583904060717674A17172898080709389A282889210060712923A38081.5878270696962A49076869175952529A58882100928275.51414A6715092.5908469113109A78290897360726355A88060908793.5757273A9848482.57888774145B09176898370714442B19978926060696057B299.59810089907111B3748158637076138139B48887699076725456B585.572749088766570B6668576786095.5106101B7827848587573146145B8725078667075148149B97984928790.5683130
[table=393][td=1,1,43] [td=1,1,43]中文[td=1,1,43]英文[td=1,1,43]數學[td=1,1,43]常識[td=1,1,43]視藝[td=1,1,43]音樂[td=1,1,49][td=1,1,43]
redkoni | 2011-10-21 03:14
C090609010084763337C1936955658073128132C26583.589606081124117C3787479577072129127C480661009175715549C59490558480746169C6688392.59070756760C78287817578716463C8667878606069.5145137C97280907870877471D0818445657571137141D18186.5736090748790D2825081918072108112D363881008491714333D48874848660757067D5789140.5789071123129D6856077837072109110D78480899096.5881922D87186.5909675714536D99994691006094.51616E08668865080.570114115E17175957870728680E2757178909074.57785E39088818465713935E486.583699360727372E58299.5607366768486E6698189508069125120E7847377.5506470132130E8605097936872131128E98991907875782224
[table=393][td=1,1,43]學生[td=1,1,43]中文[td=1,1,43]英文[td=1,1,43]數學[td=1,1,43]常識[td=1,1,43]視藝[td=1,1,43]音樂[td=1,1,49]標準分名次[td=1,1,43]原分名次
redkoni | 2011-10-21 03:17
F0786969906870118122F1639059769474120125F29066898970735758F3758310010069792420F47490.5788875706864F586.56053786284141144F6898633509071144146F78773967273884848F876848148809298102F96483798874709794G0837959778573105108G16972909078708079G2779053787588104111G36875798495719293G4605877788091139142G58981569584.5737175G677889210080722119G7735081768270136136G8685290757587130131G9766678788570111114H070551008986937576H1836079947772.58891H27375919085716261H38950868387758592H4707281787873112107H56090848380.5688982H6558377100757010797H7776060886471143143H8707576826878116116H98975627985699496
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redkoni | 2011-10-21 03:19
I090.572907889713843I1706184766768134133I2666976898671115119I37399746175759187I49183707760708184I5587754786072154153I6606085728073142138I759681009085787978I889638067837396100I9727760848670126126J0585054887577158158J1487710816078159159J25275721008283122123J3664090888570135135J4647280868089100103J545821009075879081J691757710067744647J7675058848573152154J89071907881784750J98077708875778388K084.58078.58681835154K1919286.58490.577.51515K282.583919675792325K39694.59590939022K4776864.5606067.5149148K5726277.5427575150150K690.590.590.590909188K78685928788851717K8918893948580109K9787270828078.5101106
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